1.    PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

           

TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES: 

Si dos recta r y s son perpendiculares en el espacio y una de ellas por ejemplo la s es paralela a un plano α, sus proyecciones r’ y s’ también lo serán.

          INCIDENCIA ENTRE RECTAS.

Para que dos rectas r y s se corten en el espacio, las proyecciones homónimas del punto de intersección I  ( I’- I”) han de estar en una misma perpendicular a la línea de tierra. Figura 48a.

En caso contrario, las rectas se cruzarán en el espacio. Figura 48 b.

            

  PARALELISMO ENTRE RECTAS

Si dos rectas son paralelas en el espacio, sus proyecciones también lo son. Figura 49.

Ejercicio: Trazar por un punto Q, una recta paralela a la recta r.

Bastará con trazar por el punto Q’-Q”, dos rectas a’-a”, paralelas a r’-r”.

PARALELISMO ENTRE PLANOS

Para que un plano β sea paralelo a otro α, el primero debe contener a dos rectas t y v, paralelas a otros dos s y t contenidas en el plano α.

Como las trazas del plano son rectas del mismo, bastará con que estas sean paralelas.

TRAZAR POR UN PUNTO P UN PLANO β PARALELO A OTRO DADO α.

1. Se hace contener en el plano α una recta cualquiera por ejemplo la recta s.

2.- Se traza por el punto P, una recta paralela a s. La traza horizontal del plano pasará por H’v y será paralela a α_1. Figura 51.

   PARALELISMO ENTRE RECTA Y PLANO

Una recta  r es paralela a un plano  α cuando este contiene a una recta  s paralela  a la r dada. Figura 52a y b.

   DETERMINAR LAS TRAZAS DEL PLANO α QUE CONTENIENDO A LA RECTA r SEA PARALELO A OTRA RECTA s.

1. Por un punto  P cualquiera de la recta r, trazamos

una recta paralela a la dada s.

2. Seguidamente hallaremos el plano que  contenga a ambas rectas.

    

   PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO.

Si una recta r y un plano β son perpendiculares, lo serán a todas las rectas contenidas en el plano, siendo la traza del mismo una de ellas.

El plano proyectantes δ que contiene a la recta  será perpendicular a α y  β y por tanto la recta α_β y α_δ serán perpendiculares.

Por todo lo anterior, para trazar una recta perpendicular a un plano, bastará con que las trazas de la recta y las del plano sean perpendiculares. Figura 54 a y b.

 TRAZAR POR UN PUNTOA UNA RECTA   p, PERPENDICULAR A UN PLANO α .

Bastará con trazar una recta perpendicular a las trazas del plano que y que pase el punto A. Figura 55.

TRAZAR POR UN PUNTO  Q UN PLANO β PERPENDICULAR A UNA RECTA s.

Por el punto  Q trazaremos una recta horizontal de plano  m (m’-m”), perpendicular a s’. Figura 56.

La traza del plano pasará por V” y será perpendicular a m”.

  PERPENDICULARIDAD ENTRE  DOS RECTAS.

No existe a simple vista relación gráfica que nos permita ver la perpendicularidad entre dos rectas, tal y como podemos apreciar en la figura 57b.

Por tanto nos limitaremos a trazar una recta perpendicular a s que pase por un punto cualquiera P.

Elegimos un punto cualquiera P (P’-P”) y trazamos un plano perpendicular α(α₁-α₂) a  s (s’-s”). Ejercicio 57 a y b.

1. Hacemos contener a la recta s  en un plano proyectante vertical φ (φ ₁- φ ₂).

2. Hallamos la intersección de los planos α y β. Recta i(i’-i”). El punto I’-I”, será la intersección de la recta con el plano.

3. Uniendo I’-I” con P’-P”, tendremos la recta r(r’-r”), perpendicular a s(s’-s”).

La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (de un plano cartesiano ), suele ser representado por la letra , y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:

[editar]Geometría

Una recta horizontal tiene pendiente igual a 0 (cero). Cuanto menor sea el valor de la pendiente, menor inclinación tendrá la recta; por ejemplo, una recta que se eleve un ángulo de 45° con respecto al eje X tiene una pendiente m = +1, y una recta que caiga 30° tiene pendiente m = -0,5. La pendiente de una recta vertical no está definida, o se dice que es infinita.

El ángulo θ que una recta forma con el eje horizontal está relacionado con la pendiente m por medio de la siguiente relación trigonométrica:

o equivalentemente:

Dos o más rectas son paralelas si ambas poseen la misma pendiente, o si ambas son verticales y por ende no tienen pendiente definida; dos o más rectas son perpendiculares (forman un ángulo recto entre ellas) si el producto de sus pendientes es igual a -1.

[editar]pendiente en las ecuaciones de la recta

Si y es una función lineal de x, entonces el coeficiente de x es la pendiente de la recta. Por lo tanto, si la ecuación está dada de la siguiente manera:

entonces m es la pendiente. En esta ecuación, el valor de  puede ser interpretado como el punto donde la recta se interseca con el eje Y, es decir, el valor de  cuando . Este valor también es llamado coordenada de origen.

Si la pendiente  de una recta y el punto  de la recta son conocidos, entonces la ecuación de la recta puede ser encontrada usando:

La pendiente de la recta en la fórmula general:

está dada por:

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO 

Punto medio o punto equidistante, en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos.

Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.

El punto medio de un segmento de recta es el punto que lo divide en dos segmentos de igual longitud. En geometría analítica, las coordenadas del punto medio M del segmento PQ, donde P=(x,y),Q=(X,Y), se calculan mediante la fórmula M=(X+x2,Y+y2)

Nota: La fórmula es fácil de retener en la memoria si la verbalizamos de la siguiente manera: "coordenadas del punto medio, promedio de coordenadas"

punto medio de un segmento

Área de un triángulo conociendo las coordenadas de los vértices

El área de un triángulo es igual al la mitad del producto escalar, en valor absoluto, del vector perpendicular a  por el vector .

Ejemplo

Calcular el área de un triángulo cuyos vértices son: A(2, 0), B(3,4) y C(-2,5).

Área de un triángulo por determinantes

Para resolver el determinante de orden tres utilizamos la regla de Sarrus.

El determinante está en valor absoluto

Ejemplo

Calcular el área de un triángulo cuyos vértices son: A(2, 0), B(3,4) y C(-2,5).

Área de un triángulo por vectores

Ejemplo

Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).

FORMULA DEL AREA DE UN TRIANGULO 

			= ORMA ELEMENTOS FÓRMULA PERÍMETRO FÓRMULA ÁREA TRIÁNGULO b: Base h: Altura l: Lado1 m: Lado2 n: Lado3 P = l + m + n A b x h 2

SISTEMA DE COORDENADAS 

En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto o de otro objeto geométrico. El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo «la coordenada-x». El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica, permite formular los problemas geométricos de forma "numérica".


sistema de coordenadas

coordenadas cartesianas

COORDENADAS CARTESIANAS

Para localizar un punto en el plano utilizamos dos rectas perpendiculares entre sí, llamadas ejes, uno horizontal que llamamos de “abscisas” y otro vertical de “ordenadas”, que se cortan en un punto “el origen de coordenadas”, llamado O.

Cada punto P viene determinado por un par de números:
(abscisa, ordenada)
que llamamos coordenadas cartesianas del punto P.

Convenimos en nombrar a la abscisa con la letra X, y a la ordenada con Y.


Las ejes se dividen en segmentos de igual longitud y a cada marca del segmento se le asigna un número entero. En la recta horizontal (llamada "eje de abscisas" o "eje de las x"), al punto de corte con la otra recta se le asigna el 0 y hacia la derecha el 1, 2,...; y hacia la izquierda el -1, -2,... y así sucesivamente en ambas direcciones. De forma análoga se procede con la recta vertical (llamada "eje de ordenadas" o "eje de las y"), al punto de corte se le asigne el 0 y hacia arriba el 1,2,....; y hacia abajo el -1,-2,... etc.
De este modo cada punto del plano se localiza mediante dos números, uno correspondiente a cada eje, que se escriben encerrados entre paréntesis y separados por una coma (,) . Dicho par de números se llaman coordenadas. Y se obtienen, por ejemplo, de la siguiente manera: el punto de coordenadas (2,3) se localiza situándonos en el punto marcado con el 2 en el eje de las "x"; una vez aquí, subimos hacia arriba verticalmente de forma paralela al eje de las "y", hasta el lugar marcado en este eje con el 3, ese es el punto buscado. De igual forma para el punto (-3,2), nos situamos en la marca -3 del eje "x" y subimos verticalmente hasta el 2 del eje "y".

Lógicamente el (0,0) es el punto donde se cortan los dos ejes y se llama "origen de coordenadas".

Los ejes dividen al plano en cuatro regiones que llamaremos cuadrantes.

coordenadas

parejas ordenadas

PAREJAS ORDENAS 

¿Que son las parejas ordenadas ?

Es una coordenada bien definida. dada por una absisa y una ordenada en el plano cartesiano por ejemplo el par ordenado ( 4, 2 ) quiere decir que la absisa es 4 y es la distancia del eje x (eje de las absisas) al eje y (eje de las ordenadas) y la ordenada es 2 e indica la distancia del eje y al eje x .

Asi pues el par ordenado (4,2) es una pareja ordenada, el par ( 3, 5 ) es otra pareja ordenada, el par ( -5 , 6 ) es otra pareja ordenada.
las parejas ordenadas tambien son llamadas coordenadas cartesianas en honor al matematico y padre de la geomatria analitica rene descartes, tambien son llamadas coordenadas rectangulares.ya que la ubicacion del par ordenado esta en un solo plano y a su vez el plano se divide en cuatro cuadrantes es por eso que son rectangulares
un par ordenado tiene la caracteristica principal y fundamental de tener uno y solo un valor para x y un unico valor para y
por tanto se dice que ( x, y ) es un par ordenado o pareja ordenada.

.

Ejemplo:

Encuentre una pareja ordenada que es una solución de la ecuación

y = x − 3,

y grafique el punto en el plano coordenado.

La pareja ordenada (5, 2) funciona, ya que 2 = 5 − 3.

(Dese cuenta que en matemáticas avanzadas, una pareja ordenada no tiene que ser una pareja ordenada de números; puede tener parejas ordenadas de conjuntos, funciones, o incluso parejas ordenadas!)